難點6 函數(shù)值域及求法

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題.

●難點磁場

(★★★★★)設(shè)m是實數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+ ).

(1)證明：當(dāng)m∈M時，f(x)對所有實數(shù)都有意義;反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則m∈M.

(2)當(dāng)m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值.

(3)求證：對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.

●案例探究

[例1]設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小?如果要求λ∈[ ]，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小?

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識.

錯解分析：證明S(λ)在區(qū)間[ ]上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

解：設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x= 代入上式得：S=5000+44 (8 + ),當(dāng)8 = ,即λ= <1)時S取得最小值.此時高：x= =88 cm,寬：λx= ×88=55 cm.

如果λ∈[ ]可設(shè) ≤λ1<λ2≤ ,則由S的表達(dá)式得：

又 ≥ ,故8- >0,

∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間[ ]內(nèi)單調(diào)遞增.��

從而對于λ∈[ ],當(dāng)λ= 時，S(λ)取得最小值.

答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈[ ],當(dāng)λ= 時，所用紙張面積最小.

[例2]已知函數(shù)f(x)= ,x∈[1,+∞ (1)當(dāng)a= 時，求函數(shù)f(x)的最小值.

(2)若對任意x∈[1,+∞ ,f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運算能力，屬★★★★級題目.

知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.

錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：解法一運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式;解法二運用分類討論思想解得.

(1)解：當(dāng)a= 時，f(x)=x+ +2

∵f(x)在區(qū)間[1，+∞ 上為增函數(shù)，

∴f(x)在區(qū)間[1，+∞ 上的最小值為f(1)= .

(2)解法一：在區(qū)間[1，+∞ 上，f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.

設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1遞增，

∴當(dāng)x=1時，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>-3.��

解法二：f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞ 當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正;

當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時，f(x)min=3+a,

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>-3.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：

(1)求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.

(2)函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強(qiáng).

(3)運用函數(shù)的值域解決實際問題

此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決.此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.