難點(diǎn)3 運(yùn)用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，-1)、B(-1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線

AM的長;(2)∠CAB的平分線AD的長;(3)cosABC的值.

●案例探究

[例1]如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面�〢BCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

(1)求證：C1C⊥BD.

(2)當(dāng) 的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明.

命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.

錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.

技巧與方法：利用a⊥b a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.

(1)證明：設(shè) =a, =b, =c,依題意，|a|=|b|， 、 、�� 中兩兩所成夾角為θ，于是 =a-b， =c(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.

(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，

由 =(a+b+c)·(a-c)=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0,得

當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD，

∴ =1時(shí)，A1C⊥平面C1BD.

[例2]如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).

(1)求 的長;

(2)求cos< >的值;

(3)求證：A1B⊥C1M.

命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬

★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).

錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).

技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)

∴| |= .

(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).

∴ = =(0，1，2)

=1×0+(-1)×1+2×2=3

| |= (3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M( )

∴ ∴A1B⊥C1M.

●錦囊妙計(jì)

1.解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識.二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.

2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題;利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.

3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決?需要用到哪些向量?

(2)所需要的向量是否已知?若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示?

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示?這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系?

(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論?

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