難點4 三個“二次”及關系

三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關.本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.

●難點磁場

已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非負的，求關于x的方程 =|a-1|+2的根的取值范圍.

●案例探究

[例1]已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B;

(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力.屬于★★★★★題目.

知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合.

錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.

技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.

(1)證明：由 消去y得ax2+2bx+c=0

Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ c2]

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴ c2>0,∴Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點.

(2)解：設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=- ,x1x2= .

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>-a-c>c,解得 ∈(-2,- )

∵ 的對稱軸方程是 .

∈(-2,- )時，為減函數(shù)

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( ).

[例2]已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.

命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.

錯解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點.

技巧與方法：設出二次方程對應的函數(shù)，可畫出相應的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.

解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(-1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得

∴ .

(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組 (這里0<-m<1是因為對稱軸x=-m應在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)

●錦囊妙計

1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)二次函數(shù)的三種表示法：

y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n.

(2)當a>0,f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).

若-

若p≤-

若x0≤-

若- ≥q,則f(p)=M,f(q)=m.

2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件.

(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小 a·f(r)<0;

(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r

(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根 (4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根 f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立.

(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p

3.二次不等式轉(zhuǎn)化策略

(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(-∞,α )∪[β,+∞ a<0且f(α)=f(β)=0;

(2)當a>0時，f(α)

|β+ |;

(3)當a>0時，二次不等式f(x)>0在[p,q]恒成立 或 (4)f(x)>0恒成立

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